Amis ou exemples amicaux et comment les trouver

Les Amis ou chiffres amicaux Il y a deux nombres naturels A et B dont la somme des diviseurs de l'un d'eux (sans compter le nombre) est égal à l'autre nombre, et la somme des diviseurs de cet autre (sans l'inclure non plus) est égale au premier problème.

De nombreux couples de nombres qui partagent cette propriété curieuse ont été trouvés. Ils ne sont pas trop petits, les mineurs sont 220 et 284, découverts il y a plusieurs siècles. Alors donnons-les comme un exemple de ce que signifie cette amitié particulière entre les chiffres.

Figure 1. Le couple d'amis 220 et 284 était déjà connu depuis des siècles. Source: Pixabay.

Les diviseurs de 220, sans 220, sont: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 et 110. En revanche, les diviseurs de 284, sans 284, sont: 1, 2, 4, 71 et 142.

Maintenant, nous ajoutons les diviseurs du premier numéro, qui est de 220:

D₁ = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

Nous observons qu'en vigueur, la somme est 284, le nombre d'amis.

Ensuite, les diviseurs de 284 sont ajoutés:

D₂ = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

Et le premier membre du couple est obtenu.

Les anciens mathématiciens grecs de l'école Pythagore, fondé par Pythagore (569-475.C.), L'auteur du célèbre théorème du même nom, a réussi à découvrir cette relation particulière entre ces deux nombres, auxquels de nombreuses qualités mystiques ont attribué.

Ils étaient également connus par les mathématiciens islamiques du Moyen Âge, qui ont réussi à déterminer une formule générale pour trouver des amis sur les années 850 de notre époque.

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Formule pour trouver des amis

Le mathématicien islamique Thabit Ibn Qurra (826-901) a trouvé un moyen de générer des chiffres d'amis. Sean p, q et r Trois nombres premiers, c'est-à-dire des nombres qui n'admettent que 1 et eux-mêmes en tant que diviseurs.

En remplissant les éléments suivants:

P = 3.2^N-1 - 1

Q = 3.2ⁿ - 1

Peut vous servir: corollaire (géométrie)

R = 9.2^2n-1 - 1

Avec n un nombre supérieur à 1, alors:

A = 2ⁿPq et b = 2ⁿr 

Faire quelques amis. Nous allons essayer la formule pour n = 2 et voir quel couple de numéros d'amis génère:

P = 3.2^2-1 - 1 = 3. 2 - 1 = 5

Q = 3.2² - 1 = 11

R = 9.2^2.2-1 - 1 = 71

Ensuite:

A = 2ⁿPq = 2². 5. 11 = 220

b = 2ⁿR = 2². 71 = 284

La formule du mathématique médiéval.

Cependant, le théorème ne fonctionne pas pour tous les amis trouvés jusqu'à présent, seulement pour n = 2, n = 4 et n = 7.

Des siècles plus tard, le mathématicien suisse Leonhard Euler (1707-1783) a déduit une nouvelle règle pour trouver des nombres amicaux, sur la base de celui de Thabit Ibn Qurra:

P = (2^N-m + 1). 2^m - 1

Q = (2^N-m + 1). 2ⁿ - 1

R = (2^N-m + 1)². 2^{m + n}  - 1

Comme toujours, les nombres P, Q et R sont des cousins, mais maintenant il y a deux exposants entiers: m et n, dont m doit répondre à la condition suivante:

1 ≤ m ≤ n-1

Le couple d'amis est formé de la même manière:

A = 2ⁿpq 

b = 2ⁿr 

Si m = n-1 est obtenu à nouveau le théorème de Thabit, mais comme c'est le cas avec le théorème des mathématiciens islamiques, tous les chiffres amicaux ne satisfont pas à la règle d'Euler. Cependant, avec elle la quantité de nombres amicaux connus jusque-là.

Voici les premières paires d'exposants (M, N) avec lesquels trouver des chiffres amicaux:

(1,2), (3,4), (6.7), (1,8) et (29,40)

Plus tard, dans la section des exercices, nous trouverons les deux nombres amicaux qui se forment grâce aux exposants (3,4) de la règle Euler.

Exemples de numéros d'amis

-220 et 284

Peut vous servir: Expérience aléatoire: concept, espace d'échantillonnage, exemples

-1184 et 1210

-2620 et 2924

-5020 et 5564

-6232 et 6368

-dix.744 et 10.856

-12.285 et 14.595

-17.296 et 18.416

Bien sûr, beaucoup plus de couples de nombres amicaux peuvent être générés par ordinateur.

Comment décomposer un nombre et trouver vos diviseurs

Voyons maintenant comment trouver les diviseurs d'un numéro, pour corroborer s'ils sont amis. Selon la définition de nombres amicaux, tous les diviseurs de chaque participant sont nécessaires pour pouvoir les ajouter, à l'exception des nombres eux-mêmes.

Maintenant, les nombres naturels peuvent être divisés en deux groupes: nombres premiers et nombres composés.

Les nombres primo admettent uniquement comme des diviseurs exacts vers 1 et eux-mêmes. Et les chiffres composés de leur part, peuvent toujours être exprimés comme le produit de nombres premiers et ont d'autres diviseurs, à part 1 et d'eux-mêmes.

Un numéro de composé, comme 220 ou 284, peut être exprimé de cette manière:

N = aⁿ . b^m. c^p… R^k

Où a, b, c ... r sont des nombres premiers et n, m, p ... k sont des représentants appartenant à des nombres naturels, qui peuvent valoir à partir de 1.

En termes de ces exposants, il existe une formule pour savoir combien de diviseurs (mais pas lesquels) ont le nombre n. Soit C ce montant:

C = (n +1) (m +1) (p +1) ... (k +1)

Une fois que le nombre N est exprimé en termes de produits de nombre premier et on sait combien de diviseurs ont, vous avez déjà les outils pour savoir quels sont leurs diviseurs, à la fois cousins ​​et non-cousins. Et il est nécessaire de les rencontrer tous pour vérifier s'ils sont amis, sauf le dernier, qui est le numéro lui-même.

Exercices résolus

- Exercice 1

Trouvez tous les diviseurs du couple d'amis 220 et 284.

Solution

Nous trouverons d'abord les principaux diviseurs de 220, qui est un numéro de composé:

Peut vous servir: estimation ponctuelle

220 │2
110 │2
55 │5
11 │11
1 │

La décomposition des facteurs premiers de 220 est:

220 = 2 x 2 x 5 x 11 = 2².5. onze

Par conséquent, n = 2, m = 1, p = 1 et possède:

C = (2 + 1). (1 + 1). (1 + 1) = 12 divisores

Les premiers diviseurs avertis de la décomposition du nombre sont: 1, 2, 4, 5 et onze. Et ils sont aussi 110 et 55.

5 d'entre eux manqueraient, qui fabriquent des produits entre cousins ​​et leurs combinaisons: 2².5 = vingt;  2².11 = 44; 2. 11 = 22 Et enfin le 1 Et le sien 220.

Une procédure analogue pour 284 est suivie:

284 │2
142 │2
71 │71
1 │

284 = 2². 71

C = (2 + 1). (1 + 1) = 3 x 2 = 6 diviseurs

Ces diviseurs sont: 1, 2, 4, 71, 142 et 284, comme indiqué au début.

Figure 2. Avec la méthode décrite, ces couples peuvent être analysés pour vérifier que ce sont des chiffres d'amis. Source: F. Zapata.

- Exercice 2

Vérifiez la formule Euler pour n = 4 et m = 3 génère la liste des nombres premiers (P, Q, R) = (23,47, 1151). Quel est le couple d'amis formés avec eux?

Solution

Les nombres premiers P, Q et R sont calculés par:

P = (2^N-m + 1). 2^m - 1

Q = (2^N-m + 1). 2ⁿ - 1

R = (2^N-m + 1)². 2^{m + n}  - 1

Le remplacement des valeurs de m = 3 et n = 4 est obtenu:

P = (2^4-3 + 1). 2³ - 1 = 23

Q = (2^4-3 + 1). 2⁴ - 1 = 47

R = (2^4-3 + 1)². 2^{4 + 3}  - 1 = 1151

Maintenant, la formule est appliquée pour trouver le couple de numéros d'amis A et B:

A = 2ⁿpq 

b = 2ⁿr 

A = 2ⁿPq = 16. 23. 47 = 17.296

b = 2ⁿR = 16. 1151 = 18.416

Et en effet, ils figurent parmi la liste des premiers couples d'amis que nous montrons précédemment.

Les références

1. Baldor, un. 1986. Arithmétique. Éditions et distributions Codex.
2. Tout sur les nombres premiers. Nombres d'amis. Récupéré de: infirmière.org.
3. Wolfram Mathworld. La règle d'Euler. Récupéré de: Mathworld.Wolfram.com.
4. Wikipédia. Nombres amicaux. Récupéré de: dans.Wikipédia.org.
5. Wikipédia. Nombres d'amis. Récupéré de: est.Wikipédia.org.