Facteur commun pour regrouper des exemples de termes, exercices

Il facteur commun pour le regroupement des termes Il s'agit d'une procédure algébrique qui permet d'écrire des expressions algébriques sous la forme de facteurs. Pour atteindre cet objectif, l'expression doit d'abord se regrouper et observer facilement que chaque groupe ainsi formé a, en fait, un facteur commun.

Appliquer correctement la technique nécessite une certaine pratique, mais en peu de temps, il est possible de dominer. Regardons d'abord un exemple illustratif décrit étape par étape. Ensuite, le lecteur peut appliquer ce qu'ils ont appris dans chacun des exercices qui apparaîtront après.

Figure 1. Supprimer le facteur commun pour le regroupement des termes facilite le travail avec les expressions algébriques. Source: Pixabay.

Par exemple, supposons que vous deviez tenir compte de l'expression suivante:

2x² + 2xy - 3zx - 3zy

Cette expression algébrique se compose de 4 monomiaux ou termes, séparés par des signes + et -, à savoir:

2x², 2xy, -3zx, -3zy

Observant attentivement, le X est commun aux trois premiers, mais pas au dernier, tandis que le et est commun au second et au quatrième, et le z est commun au troisième et au quatrième.

Donc, en principe, il n'y a aucun facteur commun aux quatre termes en même temps, mais s'ils sont regroupés car il sera affiché dans la section suivante, on peut aider à rédiger l'expression comme le produit de deux ou plusieurs facteurs.

[TOC]

Exemples

Facteur de l'expression: 2x² + 2xy - 3zx - 3zy

Étape 1: Groupe

2x² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x² + 2xy) + (-3zx - 3zy)

Étape 2: Retirez le facteur commun de chaque groupe

2x² + 2xy - 3zx - 3zy =

= (2x² + 2xy) - (3zx + 3zy) =

= 2x (x + y) - 3z (x + y)

ToiTourbillon: Le signe négatif est également un facteur commun qui doit être pris en compte.

Peut vous servir: espace vectoriel: base et dimension, axiomes, propriétés

Remarquez maintenant que la parenthèse (x + y) est répétée dans les deux termes obtenus lors du regroupement. C'est le facteur commun qui recherchait.

Étape 3: Factoriser toute l'expression

2x² + 2xy - 3zx - 3zy = (x + y) (2x - 3z)

Avec le résultat précédent, l'objectif de la factorisation a été atteint, ce qui n'est autre que de transformer une expression algébrique basée sur les sommes et la soustraction des termes, dans le produit de deux ou plusieurs facteurs, dans notre exemple, de: (x + y) et (2x - 3z).

Problèmes importants concernant le facteur de groupe commun

question 1: Comment savoir que le résultat est correct?

Répondre: Une propriété distributive est appliquée au résultat obtenu et après la réduction et la simplification, l'expression ainsi obtenue doit coïncider avec l'original, sinon, il y a une erreur.

Dans l'exemple précédent, il fonctionne inversé avec le résultat, pour vérifier que c'est bien:

(x + y) (2x - 3z) = 2x² -3zx + 2xy - 3zy

Comme l'ordre de l'Adddeds ne modifie pas la somme, après avoir appliqué la propriété distributive, toutes les termes d'origine, il y a des panneaux inclus, par conséquent, la factorisation est correcte.

Question 2: Auriez-vous pu vous regrouper d'une autre manière?

Répondre: Il existe des expressions algébriques qui admettent plus d'une forme de groupe et d'autres qui ne. Dans l'exemple sélectionné, le lecteur peut essayer d'autres possibilités, par exemple le regroupement:

2x² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x²- 3zx) + (2xy - 3zy)

Et vous pouvez voir que le résultat est le même que celui obtenu ici. Trouver le groupe optimal est une question de pratique.

Peut vous servir: dérivé de la cotangente: calcul, démonstration, exercices

Question 3: Pourquoi est-il nécessaire d'obtenir un facteur commun à partir d'une expression algébrique?

Répondre: Parce qu'il existe des applications dans lesquelles l'expression factorielle facilite les calculs. Par exemple, supposons que vous vouliez faire 2x² + 2xy - 3zx - 3zy égal à 0. Quelles seraient les possibilités?

Pour répondre à cette préoccupation, la version factorielle est beaucoup plus utile que le développement original en termes. Il survient comme ceci:

(x + y) (2x - 3z) = 0

Une possibilité que l'expression vaut 0 est que x = -y, quelle que soit la valeur de z. Et l'autre est que x = (3/2) z, sans importance de la valeur de y.

Exercices

- Exercice 1

Obtenez un facteur commun de l'expression suivante en regroupant les termes:

ax + ay + bx + par

Solution

Les deux premiers sont regroupés, avec le facteur commun "A" et les deux derniers avec le facteur commun "B":

AX + AY + BX + BY = A (X + Y) + B (X + Y)

Une fois cela fait, un nouveau facteur commun est révélé, qui est (x + y), de sorte que:

ax + Ay + bx + by = a (x + y) + b (x + y) = (x + y) (a + b)

Une autre façon de se regrouper

Cette expression admet une autre façon de se regrouper. Voyons ce qui se passe si les termes sont réorganisés et qu'un groupe est fabriqué avec lequel ils contiennent X et un autre avec ceux qui contiennent et:

AX + AY + BX + BY = AX + BX + AY + BY = X (A + B) + Y (A + B)

De cette façon, le nouveau facteur commun est (A + B):

AX + AY + BX + BY = AX + BX + AY + BY = X (A + B) + Y (A + B) = (X + Y) (A + B)

Cela conduit au même résultat du premier moyen de regrouper qu'il a été testé.

- Exercice 2

Il est nécessaire d'écrire l'expression algébrique suivante comme produit à deux facteurs:

3e³ - 3e²B + 9AB²-pour²+AB-3B²

Peut vous servir: Coplanares Points: équation, exemple et exercices résolus

Solution

Cette expression contient 6 termes. Essayons de regrouper les premier et quatrième, deuxième et troisième et enfin cinquième et sixième:

3e³ - 3e²B + 9AB²-pour²+AB-3B² = (3e³ -pour²) + (- 3ème²B + 9AB²) + (Ab-3b²)

Maintenant, chaque parenthèse est un facteur:

= (3e³ -pour²) + (- 3ème²B + 9AB²) + (Ab -3b²) = a² (3a -1) + 3ab (3b -a) + b (a -3b)

À première vue, il semble que la situation ait été compliquée, mais le lecteur ne doit pas être découragé, car nous allons réécrire le dernier trimestre:

pour² (3a -1) + 3ab (3b -a) + b (a -3b) = a² (3a - 1) + 3ab (3b -a) - b (3b -a)

Les deux derniers termes ont désormais un facteur commun, qui est (3B-A), donc ils peuvent être factorisés. Il est très important de ne pas perdre de vue le premier mandat pour² (3a - 1), qui doit continuer à accompagner tout comme l'ajout, vous ne travaillez donc pas avec lui:

pour² (3a - 1) + 3ab (3b -a) - b (3b -a) = a² (3A-1) + (3B-A) (3AB-B)

L'expression a été réduite à deux termes et un nouveau facteur commun est découvert dans le dernier, qui est "B". Maintenant, il reste:

pour² (3a-1) + (3b-a) (3AB-B) = A² (3A-1) + B (3B-A) (3A-1)

Le prochain facteur commun dans l'apparition est le 3ème - 1:

pour² (3a - 1) + b (3b -a) (3a -1) = (3a - 1) [A² + B (3b-a)]

Ou si vous préférez sans crochets:

(3e - 1) [A² + B (3b -a)] = (3a - 1) (A² -AB + 3B²)

Le lecteur peut-il trouver une autre façon de se regrouper qui mène à ce même résultat peut-il?

Figure 2. Exercices de factorisation proposés. Source: F. Zapata.

Les références

1. Baldor, un. 1974. Algèbre élémentaire. Culturel vénézuélien.POUR.
2. Jiménez, R. 2008. Algèbre. Prentice Hall.
3. Principaux cas de factorisation. Récupéré de: Julioproge.filet.
4. Unam. Mathématiques de base: factorisation en regroupant les termes. Faculté de comptabilité et d'administration.
5. Zill, D. 1984. Algèbre et trigonométrie. Colline de MacGraw.