Inégalité du triangle de démonstration, exemples, exercices résolus

Est appelé Inégalité du triangle à la propriété qui rencontre deux nombres réels consistant en la valeur absolue de sa somme est toujours inférieur ou égal à la somme de ses valeurs absolues. Cette propriété est également connue sous le nom d'inégalité de Minkowski ou d'inégalité triangulaire.

Cette propriété des nombres est appelée inégalité triangulaire car dans les triangles, il arrive que la durée d'un côté est toujours inférieure ou égale à la somme des deux autres, même si cette inégalité ne s'applique pas toujours dans le domaine des triangles.

Figure 1. La valeur absolue de la somme de deux nombres est toujours inférieure ou égale à la somme de ses valeurs absolues. (Préparé par R. Pérez)

Il existe plusieurs démonstrations d'inégalité triangulaire en nombre réel, mais dans ce cas, nous choisirons un basé sur les propriétés de la valeur absolue et du binôme carré.

Théorème: Pour toutes les paires de nombres pour et b Appartenant à des nombres réels, il faut:

| A + B | ≤ | A | + | B |

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Manifestation

Nous commençons par considérer le premier membre de l'inégalité, qui sera réduit:

| A + b | ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2 a b + b ^ 2 (ec. 1)

À l'étape précédente, la propriété a été utilisée que n'importe quel nombre élevé sur le carré est égal à la valeur absolue dudit numéro élevé sur le carré, c'est-à-dire: | x | ^ 2 = x ^ 2. Le développement du binôme carré a également été utilisé.

Tout nombre X Il est inférieur ou égal à sa valeur absolue. Si le nombre est positif, il vaut l'égalité, mais si le nombre est négatif, il sera toujours inférieur à un nombre positif. Dans ce cas, sa propre valeur absolue, c'est-à-dire qu'il peut être indiqué que x ≤ | X |.

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Le produit (un B) C'est un nombre, donc il est appliqué que (a b) ≤ | A B |. Lorsque cette propriété est appliquée à (EC. 1) Nous avons:

| A + b | ^ 2 = a ^ 2 + 2 (a b) + b ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 | A B | + B ^ 2 (Ec. 2)

En tenant compte de cela | A b | = | A || B | La (ec. 2) Il peut être écrit comme suit:

 | A + b | ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 | A || B | + B ^ 2 (Ec. 3)

Mais comme nous l'avons dit précédemment que le carré d'un nombre est égal à la valeur absolue du nombre élevé au carré, alors l'équation 3 peut être réécrite comme suit:

 | A + b | ^ 2 ≤ | a | ^ 2 + 2 | a | | B | + | B | ^ 2 (Ec. 4)

Dans le deuxième membre de l'inégalité, un produit remarquable est reconnu, qui, lorsqu'il est appliqué, mène à:

 | A + b | ^ 2 ≤ (| a | + | b |) ^ 2 (Ec. 5)

Dans l'expression précédente, il convient de noter que les valeurs à soulever sur les deux membres de l'inégalité sont également positives qu'elle doit également être remplie que:

 | A + B | ≤ (| a | + | b |) (Ec. 6)

L'expression précédente est exactement ce que vous vouliez démontrer.

Exemples

Ensuite, nous vérifierons l'inégalité triangulaire avec plusieurs exemples.

Exemple 1

La valeur est prise a = 2 et la valeur b = 5, c'est-à-dire à la fois des nombres positifs et nous vérifions si l'inégalité est respectée ou non.

 | 2 + 5 | ≤ | 2 | + | 5 |

 | 7 | ≤ | 2 | + | 5 |

7 ≤ 2+ 5

L'égalité est vérifiée, donc le théorème des inégalités du triangle a été accompli.

Exemple 2

Les valeurs suivantes sont choisies a = 2 et b = -5, c'est-à-dire un nombre positif et l'autre négatif, nous vérifions si l'inégalité est respectée ou non.

Peut vous servir: trinomial

 | 2 - 5 | ≤ | 2 | + | -5 |

 | -3 | ≤ | 2 | + | -5 |

 3 ≤ 2 + 5

L'inégalité est réalisée, donc le théorème triangulaire des inégalités a été vérifié.

Exemple 3

La valeur est prise a = -2 et la valeur b = 5, c'est-à-dire un nombre négatif et l'autre positif, nous vérifions si l'inégalité est respectée ou non.

 | -2 + 5 | ≤ | -2 | + | 5 |

 | 3 | ≤ | -2 | + | 5 |

 3 ≤ 2 + 5

L'inégalité est vérifiée, donc le théorème a été rempli.

Exemple 4

Les valeurs suivantes a = -2 et b = -5 sont choisies, c'est-à-dire à la fois des nombres négatifs et nous vérifions si l'inégalité est respectée ou non.

 | -2 - 5 | ≤ | -2 | + | -5 |

 | -7 | ≤ | -2 | + | -5 |

 7 ≤ 2+ 5

L'égalité est vérifiée, donc le théorème des inégalités de Minkowsk a été rempli.

Exemple 5

La valeur est prise a = 0 et la valeur b = 5, c'est-à-dire un nombre zéro et l'autre positif, alors nous vérifions si l'inégalité est respectée ou non.

 | 0 + 5 | ≤ | 0 | + | 5 |

 | 5 | ≤ | 0 | + | 5 |

 5 ≤ 0+ 5

L'égalité est remplie, donc le théorème des inégalités du triangle a été vérifié.

Exemple 6

La valeur est prise a = 0 et la valeur b = -7, c'est-à-dire un nombre zéro et l'autre positif, alors nous vérifions si l'inégalité est respectée ou non.

 | 0 - 7 | ≤ | 0 | + | -7 |

 | -7 | ≤ | 0 | + | -7 |

 7 ≤ 0+ 7

L'égalité est vérifiée, donc le théorème de l'inégalité triangulaire a été rempli.

Exercices résolus

Dans les exercices suivants, les exercices représentent géométriquement l'inégalité du triangle ou de l'inégalité de Minkowski pour les nombres A et B.

Peut vous servir: Papomudas

Le nombre A sera représenté comme un segment sur l'axe x, son origine ou coïncide avec le zéro de l'axe x et l'autre extrémité du segment (au point P) sera dans le sens positif (vers la droite) de la x axe si un> 0, mais à < 0 estará hacia la dirección negativa del eje X, tantas unidades como indique su valor absoluto.

De même, le numéro B sera représenté comme un segment dont l'origine est au point P. L'autre fin, c'est-à-dire le point qui sera à droite de P si B est positif (b> 0) et le point Q sera | B | unités à gauche de p si b<0.

Exercice 1

Représentent graphiquement l'inégalité du triangle pour a = 5 et b = 3 | A + B | ≤ | A | + | B |, être C = a + b. 

Solution 1:

Exercice 2

Faire un graphique d'inégalité triangulaire pour a = 5 et b = -3. 

| A + B | ≤ | A | + | B |, être C = a + b.

Solution 2:

Exercice 3

Graphiquement l'inégalité du triangle pour a = -5 et b = 3.

| A + B | ≤ | A | + | B |, être C = a + b. 

Solution 3:

Exercice 4

Graphiquement l'inégalité triangulaire pour a = -5 et b = -3.

| A + B | ≤ | A | + | B |, être C = a + b.

Solution 4:

Les références

1. ET. Whitesitt. (1980).Algèbre booléenne et ses applications . Compagnie de rédaction continentale C. POUR.
2. Mícheal ou 'séarcoïde.(2003) Éléments de l'analyse abstraite ... Département des mathématiques. University College Dublin, Beldfield, Dublind.
3. J. Van wyk. (2006) Mathématiques et ingénierie en informatique. Institut des sciences informatiques et de la technologie. Bureau national des normes. Washington, D. C. 20234
4. Eric Lehman. Mathématiques pour l'informatique.  Google Inc.
5. F Thomson Leighton (1980). Calcul. Département de mathématiques et laboratoire de l'informatique et de l'IA, Institut de technologie du Massachussetts.
6. Académie Khan. Théorème des inégalités du triangle. Récupéré de: Khanacademy.org
7. Wikipédia. Inégalité triangulaire. Récupéré de: est. Wikipédia.com